零点芝士 | 椭圆曲线密码学入门2

来源：知乎ustcsse308

椭圆曲线之所以用在加密系统中，是因为它有一些很好的特性可以适合用来加密。它一个特性是关于X轴对称。另一个特性是任何不垂直的线最多与曲线有三个交点。基于这些特性，在椭圆曲线上定义一些运算。（后面的“加法“和“乘法‘’只是为方便而取的名字，和我们所熟知的加法和乘法完全不同）

在椭圆曲线上两点的加，指的是经过椭圆曲线上两点的线，和椭圆曲线的交点（第三个点）关于X轴的对称点。

譬如说，在下面这张图中，A+D = E

还有这种，P+Q=R （右图）

特别地，如果要计算P+P（也即P=Q），那就作椭圆曲线在P点处的切线，与曲线相交于第二点，然后关于X轴对称得到第三点，则第三点为P点与自身的和，R=P+P。（左图）根据这种定义，可以看出加法具有交换律。

还能定义乘法。

P+P首先得到2P。连接2P和P的直线与椭圆曲线相交，通过取与X轴对称的点，得到3P。如此，可以一直计算下去，得到kP(1 < k < n)。

椭圆曲线难以破解的地方在于，给定点G和K，K = kG (1 < k < n)，想要推导出k是一件很困难的事情，目前没有比枚举k的值好很多的算法，而通常n会很大。

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